Question

已知雙曲線(xiàn)和橢圓有相同的焦點(diǎn)和，兩曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為，橢圓與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，且三點(diǎn)共線(xiàn)，分有向線(xiàn)段的比為，又直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的另一交點(diǎn)為，若．
（1）求橢圓的離心率；
（2）求雙曲線(xiàn)和橢圓的方程．

Answer 1

（1）（2）橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為

（1）設(shè)橢圓的方程為，由三點(diǎn)共線(xiàn)，且分有向線(xiàn)段的比為．
得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，得橢圓的離心率．
（2）由（1）可得橢圓的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
直線(xiàn)的方程為．
設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，
則．
在雙曲線(xiàn)上，
．
化簡(jiǎn)，得，故．
將直線(xiàn)的方程代入雙曲線(xiàn)方程，得．
由此，得．
從而．
橢圓方程為，雙曲線(xiàn)方程為．