Question

【題目】設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù)．

（1）求證：是上的增函數(shù)；

（2）若對于區(qū)間上的每一個值，不等式恒成立，求實數(shù)取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）由奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱可得，，即，則令，得到的根必為相反數(shù)，從而求出a，再根據(jù)定義法證明是上的增函數(shù)即可；

（2）由題意知，時恒成立，令，根據(jù)單調(diào)性的運算可判斷的單調(diào)性，從而求出最值.

（1）∵是奇函數(shù)，∴定義域關(guān)于原點對稱，

由，得．令，得，，

∴，解得，，令，

設(shè)任意，且，則，

∵，∴，，，∴，即．

∴是減函數(shù)，又為減函數(shù)，

∴在上為增函數(shù)；

（2）由題意知，時恒成立，

令，，

由（2）知在上為增函數(shù)，又在上也是增函數(shù)，

故在上為增函數(shù)，∴的最小值為，

∴，故實數(shù)的范圍是．