Question

設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-4）、F₂（0，4），動點(diǎn)P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

（a為大于0的常數(shù)），則點(diǎn)P的軌跡是（　�。�

A．橢圓

B．線段

C．不存在

D．橢圓或線段

Answer 1

分析：由基本不等式可得 a+

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a

≥8，當(dāng)a+

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a

=8時(shí)，點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的軌跡是線段F₁F₂；a+

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a

＞8時(shí)，點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數(shù)，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓．

解答：解：∵a＞0，∴a+

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a

≥2

a• 16 a

=8．
當(dāng)  a+

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a

=8=|F₁F₂|時(shí)，由點(diǎn)P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

=|F₁F₂|得，點(diǎn)P的軌跡是線段F₁F₂．
當(dāng)  a+

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a

＞8=|F₁F₂|時(shí)，由點(diǎn)P滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a+

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a

＞|F₁F₂|，滿足橢圓的定義，所以點(diǎn)P的軌跡是以F₁、F₂ 為焦點(diǎn)的橢圓．
綜上，點(diǎn)P的軌跡是線段F₁F₂ 或橢圓，
故選 D．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定 a+

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a

的范圍是解題的關(guān)鍵．