Question

以下各個(gè)關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)定點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a（a＞0），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓或線段；
②過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有3條；
③離心率為

1

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1；
④若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0）．
其中真命題的序號(hào)為

②④

（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足條件|PF₁|+|PF₂|=a，當(dāng)a＜6，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在，當(dāng)a=6，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段，當(dāng)a＞6，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，可分析①的真假；
根據(jù)點(diǎn)在拋物線開(kāi)口外，則與拋物線交點(diǎn)只有一個(gè)的直線有3條，點(diǎn)在拋物線上，則與拋物線交點(diǎn)只有一個(gè)的直線有2條，點(diǎn)在拋物線開(kāi)口內(nèi)，則與拋物線交點(diǎn)只有一個(gè)的直線有1條，可分析②的真假；
根據(jù)離心率為

1

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上兩種情況分別求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可判斷③的真假；
根據(jù)3＜k＜4，可分析出二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1的圖象形狀及焦點(diǎn)位置，進(jìn)而判斷④的真假；

解答：解：①中，若a＜6，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在，故①錯(cuò)誤；
過(guò)點(diǎn)（0，1）作直線，使它與拋物線y²=4x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線與拋物線相切（共有兩條），或與對(duì)稱(chēng)軸平行（共有一條），共有3條，故②正確；
離心率為

1

2

，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

12

+

y2

16

=1，故③錯(cuò)誤；
若3＜k＜4，則二次曲線

x2

4-k

+

y2

3-k

=1為雙曲線，則c²=（4-k）+（k-3）=1，此時(shí)c=1，且焦點(diǎn)在x軸上，故焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±1，0），故④正確
故答案為：②④

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了圓錐曲線的定義，性質(zhì)及方程，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義，性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程是解答的關(guān)鍵．