Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，其離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與相交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使為正三角形，若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：利用離心率可以得出的關(guān)系，化為的關(guān)系，再利用橢圓過(guò)點(diǎn)滿足橢圓方程，列出的方程，借助解出，寫(xiě)出橢圓E的方程，聯(lián)立方程組，化為關(guān)于的一元二次方程，利用設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式求出，寫(xiě)出AB中點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用，解出m，寫(xiě)出直線的方程.

試題解析：

（1）由，和過(guò)點(diǎn)，可求得a,b,c，和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）由（1）可知橢圓方程，直線代入橢圓方程，消y得，由韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式表示出|AB|,再由韋達(dá)定理和C點(diǎn)（由AB的垂直平分線方程中令x=0求得）到直線距離求得d,然后令，解出m，再檢驗(yàn)判別式，可解。

試題解析：（1）由已知得，解得.

橢圓的方程為.

（2）把代入的方程得，

設(shè)，則，

，

設(shè)的中點(diǎn)為，則

，令，則，

由題意可知，

，解得.符合，

直線的方程為.