Question

【題目】如圖，直三棱柱中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）若，，在棱上是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先連接，交于點(diǎn)，再由線面平行的判定定理，即可證明平面；

（Ⅱ）先由題意得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè) ，求出兩平面的法向量，根據(jù)法向量夾角余弦值以及二面角的大小列出等式，即可求出，進(jìn)而可得出結(jié)果.

解：（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，

連接，又是棱的中點(diǎn)，

平面，平面，

平面.

（Ⅱ）解：由已知，，則，，兩兩垂直

以為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系

則，

設(shè)

則，，

設(shè)平面的法向量為 ，

則

∴取平面的一個法向量.

設(shè)平面的法向量為 ，

則

∴取平面的一個法向量 .

∴，得或

∵，∴

∴存在點(diǎn)，此時，使二面角的大小為45°.