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        1. 【題目】設(shè)函數(shù),是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù).

          (1)求的值;

          (2)已知,函數(shù),,求的值域;

          (3)若,試問(wèn)是否存在正整數(shù),使得對(duì)恒成立?若存在,請(qǐng)求出所有的正整數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】(1)(2)(3)

          【解析】試題分析:

          試題解析:(1)先利用上的奇函數(shù)得 求出以及函數(shù)的表達(dá)式,(2)先由,得出函數(shù)的單調(diào)性,再對(duì) 進(jìn)行整理,整理為用表示的函數(shù),最后利用函數(shù)的單調(diào)性以及值域,得到的值域.

          (3)利用換元法,將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)問(wèn)題求解,注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.

          試題解析:(1)是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù), ,得

          (2),即,(舍去),

          ,由(1)知在[1,2]上為增函數(shù),∴,

          當(dāng)時(shí),有最大值;當(dāng)時(shí),有最小值,

          的值域

          (3)=,

          假設(shè)存在滿足條件的正整數(shù),則,

          ①當(dāng)時(shí),

          ②當(dāng)時(shí),,則,令,則,易證上是增函數(shù),∴

          ③當(dāng)時(shí),,則,令,則,易證上是減函數(shù),∴

          綜上所述,,∵是正整數(shù),∴=3或4.

          ∴存在正整數(shù)=3或4,使得對(duì)恒成立.

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