Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n，
∴a₂=2S₁=2a₁=2，
a_n+1=2S_n，a_n=2S_n-1，n≥2，
∴a_n+1=3a_n，n≥2，
∴{a_n}是從第二面開始起的等比數(shù)列，
且公比q=

an+1

an

=3，
∴an=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

．
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=log₃1=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn=log3(2•3n-2)=log₃2+n-2，
∴當(dāng)n=1時(shí)，T₁=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=（n-1）log₃2+

(n-1)(n+2)

2

-2（n-1），
∴Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

，
令n=1，T₁=0滿足，
Tn=(n-1)log32+

(n-1)(n-2)

2

．