Question

【題目】對于數列：、、、、，若不改變，僅改變、、、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數列稱為數列的一個生成數列，如僅改變數列、、、、的第二、三項的符號，可以得到一個生成數列：、、、、.已知數列為數列的生成數列，為數列的前項和.

（1）寫出的所有可能的值；

（2）若生成數列的通項公式為，求；

（3）用數學歸納法證明：對于給定的，的所有可能值組成的集合為.

Answer 1

【答案】（1）、、、；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據生成數列定義，可知當時，，、分別為、中取值，由此給出的所有可能的情況，即可計算出的所有可能值；

（2）利用，分、、三種情況討論，利用分組求和與等比數列的求和公式即可求得；

（3）利用數學歸納法證明：①當時命題成立；②假設當時，，證明出，結合歸納原理即可證明出結論成立.

（1）由題意得，，

根據生成數列的定義，可得，，

又，，，，

因此，所有可能的取值為、、、；

（2），

當時，；

當時，；

當時，.

綜上所述：；

（3）利用數學歸納法證明：

①當時，，命題成立；

②假設當時，命題成立，即所有可能值的集合為.

由假設得.

則當時，.

即或，

即，

當時，命題成立.

由①②知，對于給定的，的所有可能值組成的集合為.