Question

已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，∠BCD=45°，∠BAD=90°，將△ABD沿對角線BD折起到如圖所示PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD．

（1）求證：CD⊥PB；
（2）求二面角P-BC-D的大�。ㄓ梅慈�角函數表示）；
（3）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

分析：（1）由題意證出BD⊥DC，然后結合平面PBD⊥平面BCD利用線面垂直的性質定理得CD⊥平面PBD，從而證得結論；
（2）由平面PBD⊥平面BCD，過P作BD的垂線PE，然后由E作EF⊥BC，連結PF后可得二面角的平面角，然后通過解直角三角形的答案；
（3）運用等積法求解．

解答：（1）證明：∵∠BAD=45°，AD=AB，∴∠ADB=∠ABD=45°
∵AD∥BC，∠BCD=45°，∴BD⊥DC
∵平面PBD⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面PBD，∵PB?平面PBD，∴CD⊥PB；
（2）解：過P作PE⊥BD于E，由平面PBD⊥平面BCD得，PE⊥平面BCD，
過E作EF⊥BC于F，連結PF，由三垂線定理可證PF⊥BC
 
∴∠PFE為二面角P-BC-D的平面角，
∵PB=PD=1．
∴PE=BE=

2

2

，EF=

2

2

BE=

1

2

，在Rt△PEF中
∠PEF=90°，tanPFE=

PE

EF

=

2

，
∴二面角P-BC-D的大小為arctan

2

；
（3）解：設D到平面PBC的距離為h，
由PB=1求得BD=DC=

2

，BC=2，PC=

3

由PB⊥PD，PB⊥CD，∴PB⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，∴PB⊥PC
∵V_C-PBD=V_D-PBC
∴

1

3

×

1

2

×PB×PD×DC
=

1

3

×

1

2

×PB×PC×h，則可得：
h=

PD×DC

PC

=

6

3

，即D到平面PBC的距離為

6

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了二面角的平面角及其求法，訓練了等積法，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．