Question

已知在四邊形ABCD中，AD=DC=2，AB=4

2

，BC=2

6

，DC⊥AD，沿AC折疊，使D在底面ABC上的射影P在△ABC邊AB的高線上．
（1）設(shè)E為AC中點(diǎn)，求證：PE∥平面BCD；
（2）求BD與平面ABC的所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1） 易證AC⊥面DPE．PE⊥AC，再由AC²+BC²=AB²得BC⊥AC，在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行得PE∥BC，再由線面平行的判斷定理得證；
（2）由DP⊥面ABC和線面角的定義知：∠DPB為BD與面ABC所成的角再求解．

解答：（1）證明：連接DE，
∵DA=DC=2，DC⊥AD
∴AC=2

2

又∵E是中點(diǎn)，∴DE⊥AC
又∵DP⊥面ABC，AC?面ABC
∴AC⊥DP，又DP∩DE=D
∴AC⊥面DPE．又EP?面DEP
∴PE⊥AC（1）
在△ABC中，∵AC=2

2

，BC=2

6

，AB=4

2

∴AC²+BC²=AB²
∴BC⊥AC（2）（4分）
又PE，AC，BC都在面ABC內(nèi)，
由（1），（2）知PE∥BC
又∵PE?面BCD，BC?面BDC
∴PE∥面BDC（7分）

（2）連接PB，∵DP⊥面ABC
∴∠DPB為BD與面ABC所成的角．
在Rt△ABC中，∵sin∠CAB=

3

2

，∴∠CAB=60°，∠ABC=30°
在Rt△ACH中，∠ACH=30°
在Rt△PEC中，CE=

2

，∠ACH=30°，PE=

6

3

，PC=

2

3

6

在Rt△DPE中，DP2=DE2-PE2，DP=

2

3

3

在△BCP中，∠BCP=60°，
PB=

PC2+CB2-2PC•CB•cos60°

=

2

3

42

(11分)
在Rt△DBP中，DP=

2

3

3

，PB=

2

3

42

∴tan∠DBP=

DP

PB

=

14

14

(15分)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用量的關(guān)系證明位置關(guān)系以及線面平行判斷定理和線面角的求法，屬于中檔題．