Question

如圖， 在三棱錐中，．

（1）求證：平面平面；
（2）若，，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：（1）利用已知條件先證明平面，然后再利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（2）方法1：利用（1）中的提示信息說(shuō)明平面，將視為三棱錐的高，設(shè)，將底面積用表示出來(lái)，最后將三棱錐用以的代數(shù)式進(jìn)行表示，并結(jié)合基本不等式求最大值；方法2：由于為直角三角形，將的面積用以為自變量的三角函數(shù)表示，最終將三棱錐的體積用三角函數(shù)進(jìn)行表示，最后利用三角函數(shù)的相關(guān)方法求體積的最大值.
試題解析：（1）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020830995781.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，．        1分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831041625.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．                      2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831104433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以．                        3分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831151668.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．                          4分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831197603.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面．                      5分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831104433.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以平面平面．                  6分
（2）方法1：由已知及（1）所證可知，平面，，
所以是三棱錐的高．           7分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020830605415.png" style="vertical-align:middle;" />，，設(shè)，     8分
所以．    9分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240208314631048.png" style="vertical-align:middle;" />
                              10分

                            11分
．                                 12分
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．                     13分
所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，．                   14分
方法2：由已知及（1）所證可知，平面，
所以是三棱錐的高．                           7分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831151668.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)，                    8分
則，．                 9分
所以．               10分
所以
．                               11分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824020831790647.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以當(dāng)，有最大值．                          12分
此時(shí)．                              13分
所以當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，．                   14分