Question

函數f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x在[0，

2π

3

]上的值域是

 

．

Answer 1

分析：利用誘導公式、二倍角公式、兩角差的正弦函數化簡函數f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x為y=sin(2x-

π

6

)+

1

2

；根據x的范圍求出2x-

π

6

的范圍，然后求出y=sin(2x-

π

6

)+

1

2

的值域．

解答：解：因為f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x=

3

sinxcosx+

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，x∈[0，

2π

3

]?2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]?sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
故f(x)∈[0，

3

2

]
故答案為：[0，

3

2

]

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡，基本公式的靈活應用，三角函數的值域的求法，考查計算能力．