Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面，異面直線和所成角等于.

（1）求證: 平面平面；

（2）求直線和平面所成角的正弦值；

(3) 在棱上是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的正切值為？若存在，指出點在棱上的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在這樣的點， 為棱上靠近的三等分點.

【解析】試題分析：（1）要證平面平面，即證平面；

（2）以為原點， 所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求面的法向量，利用向量求線面角即可；

（3）假設(shè)存在，設(shè)，利用法向量求平面與平面所成角即可.

試題解析：

(1) 底面，又平面平面平面， 平面平面.

(2)如圖，以為原點， 所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）易知是等腰直角三角形， .設(shè)，則，則，因為異面直線和所成角等于， ，即，解得.設(shè)平面的一個法向量為，則由，得，所以可取，所以直線和平面所成的正弦值為.

(3)假設(shè)存在，設(shè)，且，則，設(shè)平面一個法向量為，則由，得，取，又平面的法向量為，由平面與平面所成銳二面角的正切值為，可知余弦值為，由，解得或（不合題意）.

所以存在這樣的點， 為棱上靠近的三等分點.