Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對任意的.

Answer 1

【答案】（1）在上是單調(diào)遞減的函數(shù)；（2）詳見解析．

【解析】試題分析：（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的取值情況分析的單調(diào)性；（2）令，求導(dǎo)，分析其單調(diào)性，進(jìn)而研究其取值情況，問題等價(jià)于證明即可得證..

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

，∵當(dāng)時(shí)， ，∴，∴在上是單調(diào)遞減的函數(shù)；（2）設(shè)， ， ，令， 則，當(dāng)時(shí)， ，有，∴在上是減函數(shù)，即在上是減函數(shù)，

又∵， ，∴存在唯一的，使得， ∴當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 在區(qū)間單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上

，

∵，∴，將其代入上式得

，

令， ，則，即有， ，

∵的對稱軸，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且，

∴，（ ），即任意， ，∴，因此任意， .