Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=n﹣5an﹣85，n∈N+ ．
（1）求an ．
（2）求數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并求出n為何值時(shí)，Sn取得最小值？并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Sn=n﹣5an﹣85，∴當(dāng)n=1時(shí)，S1=1﹣5a1﹣85，

即a1=1﹣5a1﹣85，解得a1=﹣14；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（n﹣5an﹣85）﹣[（n﹣1）﹣5an﹣1﹣85]=﹣5an+5an﹣1+1，

整理得6an=5an﹣1+1，∴6（an﹣1）=5（an﹣1﹣1），

∴ = ．又a1﹣1=﹣15，

∴數(shù)列{an﹣1}是以﹣15為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列．

∴an=﹣15×（ ）n﹣1+1

（2）解：由（1）知，an=﹣15×（ ）n﹣1+1，

代入Sn=n﹣5an﹣85得，Sn=n﹣5[﹣15×（ ）n﹣1+1]﹣85

=n+75×（ ）n﹣1﹣90．

設(shè)Sk為最小值，則 ，即有 ，

即 ，即 ，可得 ，

即 ≤k≤ +1，又 = = = ，

lg2≈0.3，lg3≈0.48，∴ ≈14.75．

∴14.75≤k≤15.75．又∵k∈N+，∴k=15．

即當(dāng)n=15時(shí)，Sn取得最小值

【解析】（1）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)與求和的關(guān)系：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1 ， 當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 通過構(gòu)造數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；（2）將（1）的結(jié)論代入條件，可得Sn=n+75×（ ）n﹣1﹣90．設(shè)Sk為最小值，則 ，運(yùn)用通項(xiàng)公式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解不等式計(jì)算即可得到所求k的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．