Question

關(guān)于x的方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的兩根為α，β，且0＜θ＜2π，若數(shù)列1，

1

α

+

1

β

，(

1

α

+

1

β

)2，…，(

1

α

+

1

β

)n的前100項和為0，求θ的值．

Answer 1

分析：由于數(shù)列1，

1

α

+

1

β

，(

1

α

+

1

β

)2，…，(

1

α

+

1

β

)n的前100項和為0，可知

α+β

αβ

=-1，再利用方程x²+xsin2θ-sinθcotθ=0的兩根為α，β，可得關(guān)于θ的方程，從而可解．

解答：解：由題意，S100=

( 1 α + 1 β )100-1

( 1 α + 1 β )-1

=0⇒

( 1 α + 1 β )100=1 1 α + 1 β ≠1

⇒

1

α

+

1

β

=-1⇒

α+β

αβ

=-1，
∵α+β=-sin2θ，αβ=-sinθcotθ=-cosθ，∴2sinθ=-1⇒sinθ=-

1

2

，
∵0＜θ＜2π，∴θ=

7π

6

或

11π

6

．

點評：本題的考點是數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，主要考查等比數(shù)列的求和，考查韋達定理，關(guān)鍵是利用韋達定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的方程，從而可解．