Question

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與軸的交點(diǎn)滿足.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由知是中點(diǎn)，從而得軸，因此得，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程再結(jié)合可解得得橢圓方程；

（2）設(shè)直線的方程為，，，代入圓方程可得，計(jì)算，由可解得，設(shè)，把代入橢圓方程可得，由計(jì)算出面積，最后根據(jù)的范圍得面積的范圍.

詳解：（1）∵，則為線段的中點(diǎn)，∴是的中位線，

又，∴，于是，且，解得，，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由（1）知，，由題意，設(shè)直線的方程為，，，

由得，則，．

．

∵，∴，解得．

由消得，設(shè)，，

則 ．

設(shè)，則，其中，

∵關(guān)于在上為減函數(shù)，∴，即的面積的取值范圍為．