Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上的最小值為，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) a≥－1

【解析】試題分析：（1）求出通過①若a≥-1，判斷單調(diào)性求解最值；②若a≤-e，③若-e＜a＜-1，求出函數(shù)的最值，即可得到a的值；
（2）化簡表達式為：a＞．令g（x）= ，求出h（x）=g′（x）=1+lnx-3x2，求出導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，即可推出結果．

試題解析：

(1) f′(x)＝.

①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，

此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．

②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，

此時f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．

③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，

當1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數(shù)；當－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，

∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.綜上所述，a＝－.

(2)∵f(x)<x2，∴ln x－<x2.又x>0，∴a>xln x－x3.令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．

∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)．g(x)<g(1)＝－1，

∴當a≥－1時，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．