Question

【題目】中國(guó)傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美，給出定義：能夠?qū)�圓O的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分的函數(shù)稱為這個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”，給出下列命題：
①對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)“有無數(shù)個(gè)”；
②函數(shù) 可以是某個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
③正弦函數(shù)y=sinx可以同時(shí)是無數(shù)個(gè)圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
④函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形．
其中正確的命題是（ ）

A.①③
B.①③④
C.②③
D.①④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：過圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，
故對(duì)于任意一個(gè)圓O，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個(gè)，故①正確；
函數(shù) 的大致圖象如圖1，故其不可能為圓的“優(yōu)美函數(shù)”；∴②不正確；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心上，
則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；
故有無數(shù)個(gè)圓成立，故③正確；
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，
但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形，如圖2，

故選：A．
過圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分，故①正確；
作函數(shù) 的大致圖象，從而判斷②的正誤；
將圓的圓心放在正弦函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心上，則正弦函數(shù)y=sinx是該圓的“優(yōu)美函數(shù)”；即可判斷③的正誤；
函數(shù)y=f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形，則y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)y=f（x）是“優(yōu)美函數(shù)”時(shí)，圖象不一定是中心對(duì)稱圖形，作圖舉反例即可．