Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD＝60°，AC⊥BD＝O．將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD＝3，得到三棱錐B－ACD．

(Ⅰ)若點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，求證：OM∥平面ABD；

(Ⅱ)求二面角A－BD－O的余弦值；

(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)N是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定N點(diǎn)的位置，使得CN＝4，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)．又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，

　　所以是的中位線，．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3929/0019/60ef40a9148413af7e1234f4a69e805c/C/Image149.gif" width=46 height=18>平面，平面，

　　所以平面．

　　(Ⅱ)解：由題意，，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3929/0019/60ef40a9148413af7e1234f4a69e805c/C/Image156.gif" width=70 height=22>，

　　所以，．又因?yàn)榱庑?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3929/0019/60ef40a9148413af7e1234f4a69e805c/C/Image142.gif" width=48 height=18>，所以，．

　　建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

　　．

　　所以

　　設(shè)平面的法向量為，

　　則有即：

　　令，則，所以．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3929/0019/60ef40a9148413af7e1234f4a69e805c/C/Image174.gif" width=137 height=21>，所以平面．

　　平面的法向量與平行，

　　所以平面的法向量為．

　　，因?yàn)槎�面�?/SPAN>是銳角，

　　所以二面角的余弦值為．

　　(Ⅲ)解：因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/3929/0019/60ef40a9148413af7e1234f4a69e805c/C/Image182.gif" width=18 height=18>是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，＝λ，

　　則，所以，

　　則，＝，

　　由得，即，

　　解得或，

　　所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．(也可以答是線段的三等分點(diǎn)，＝2或2＝)