Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3。

（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱錐M-ABD的體積。

Answer 1

解：（1）證明：因為O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O是AC的中點
又點M是棱BC的中點，
所以OM是△ABC的中位線，OM∥AB
因為OM平面ABD，AB平面ABD，
所以OM∥平面ABD。
（2）證明：由題意，OM=OD=3
因為
所以∠DOM=90°，OD⊥OM
又因為菱形ABCD，
所以OD⊥AC
因為OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，
因為OD平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO。
（3）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積
由（2）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3為三棱錐D-ABM的高
△ABM的面積為

所求體積等于。