Question

如圖，已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

．
（I）求證：平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）取AB的中點(diǎn)為O，利用線面垂直的判定方法證明EO⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定方法證明平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CDE的法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線AE與平面CDE所成角的正弦值．

解答：（I）證明：取AB的中點(diǎn)為O．
∵AE=BE=

2

，AB=2，
∴△AEB為等腰直角三角形
∴EO⊥AB，EO=1
∵AB=BC，∠ABC=60°
∴△ACB是等邊三角形，∴CO=

3

∵EC=2
∴EC²=EO²+CO²
∴EO⊥C0，
∵CO∩AB=O
∴EO⊥平面ABCD，
∵EO?平面EAB，
∴平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OB，OE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-1，0），C（

3

，0，0），D（

3

，-2，0），E（0，0，1）
∴

EC

=(

3

，0，-1)，

DC

=(0，2，0)，

AE

=(0，1，1)
設(shè)平面CDE的法向量

n

=（x，y，z），則由

EC • n =0 DC • n =0

，可得

3 x-z=0 2y=0

∴可取

n

=(

3

3

，0，1)
設(shè)直線AE與平面CDE所成角為θ，則sinθ=|

AE • n

| AE || n |

|=

1

2 × 2 3

=

6

4

∴直線AE與平面CDE所成角的正弦值是

6

4

．

點(diǎn)評：本題考查線面垂直、面面垂直的判定方法，考查直線與平面所成的角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，掌握線面垂直、面面垂直的判定方法是關(guān)鍵．