Question

為了了解某年段1000名學生的百米成績情況，隨機抽取了若干學生的百米成績，成績全部介于13秒與18秒之間，將成績按如下方式分成五組：第一組[13，14）；第二組[14，15）;……;第五組[17，18].按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖3所示，已知圖中從左到右的前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8.

（1）將頻率當作概率，請估計該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數；
（2）求調查中隨機抽取了多少個學生的百米成績；
（3）若從第一、五組中隨機取出兩個成績，求這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率.

Answer 1

(1)320  (2)50  (3) 

解析試題分析：
(1)根據頻率分布直方圖可以得到第三組[16，17）的縱坐標和組距,相乘即可得到頻率,再與總數相乘即可得到該組的頻數,即該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數.
(2)分別設出前三個組的頻率,根據三個組的頻率之比為和五個組的頻率之和為1即可得到前三個組各自的頻率,再根據第二組的頻率等于頻數與總數之比可求的總數,即得到了隨機抽取的總數.
(3)利用(1)(2)的結果可求出第一組與第五組各自的頻數(即人數),編號并列出抽取兩人的所有基本事件數和符合題目要求(即兩人來自不同的組)的基本事件數,根據古典概型的概率計算公式即可求出相應的概率.
試題解析：
(1)由頻率分布直方圖可得在抽取的樣本中學生中百米成績在[16，17）內的頻率為,則該年段學生中百米成績在[16，17）內的人數為.
(2)設前三個組的頻率分別為x,y,z.則有  ,所以第二組的頻率為0.16,又因為第二組的頻數為8,所以隨機抽取的學生人數為,故隨機抽取了50名學生的百米長跑成績.
(3)由(1)(2)可得到第一組的頻數為,第五組的頻數為,分別編號為A,B,C,D,E,F,G(其中第一組為A,B,C),從這7名同學成績中選取兩人的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G), (D,E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G)共21個,而滿足兩個成績的差的絕對值大于1秒的基本事件有(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G)共12個,所以根據古典概型的概率計算公式得 ,故從第一、五組中隨機取出兩個成績，這兩個成績的差的絕對值大于1秒的概率為.
考點：古典概型 頻率分布直方圖 頻率