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          已知n∈N*，函數(shù)f (x)=x3-nx2+(2n+1)，x∈R．
            
             （I）當n=1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
            
             （II）設(shè)函數(shù)f(x)在[-1，1]上的最大值為an，記bn=，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn<．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          解：（Ⅰ）當n=1時，f(x)=x3-x2+3.
            
          所以=3x2-2x=3x(x -) 
            
          由>0,得x<0,或x>.
            
          由<0,得x<O，0<x<
            
          所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一∞，0)和(,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,). 5分
            
             （II）因為=3x(x -),且≥
            
          所以當x在R上變化時，與f(x)的變化情況如下表：
            
            
          而f(0)=2n+1, f(1)=2n+2-n,
            
          又n≥1，所以f(0)≥f(1)．
            
          當x∈[-1，1]時，f(x)max= f(0)=2n+1，即an=2n+1． 
            
          所以bn=
            
                =
            
                       =. 
            
          所以Tn=++…+
            
                =-<
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知n∈N+，函數(shù)f（x）=
          an(x=1)
          x-1
          xn-1
          (x≠1)
          是定義在（0，+∞）的連續(xù)函數(shù)．
          （1）求數(shù)列{an}的通項公式；
          （2）求證：
          n
          k-1
          a
          3
          k
          ＜
          19
          24
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          已知n∈R，函數(shù)，f（x）=（-x2+ax）ex（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
          （1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
          （2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
          （3）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：四川省月考題
				題型：解答題
			
          

						
          已知n∈N+，函數(shù)f（x）=是定義在（0，+∞）的連續(xù)函數(shù)．
          （1）求數(shù)列{an}的通項公式；
          （2）求證：＜．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：2013年高考數(shù)學壓軸大題訓(xùn)練：函數(shù)的性質(zhì)（解析版）
				題型：解答題
			
          

						
          已知n∈R，函數(shù)，f（x）=（-x2+ax）ex（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
          （1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
          （2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
          （3）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由．
          

			
          

			
          
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