Question

已知n∈N⁺，函數(shù)f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定義在（0，+∞）的連續(xù)函數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：

n

k-1

a

3 k

＜

19

24

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定義在（0，+∞）的連續(xù)函數(shù)，求極限可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先證明n=1、2時(shí)，結(jié)論成立；再證明n≥3時(shí)，結(jié)論成立，利用放縮法即可證得．

解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）=

an(x=1) x-1 xn-1 (x≠1)

是定義在（0，+∞）的連續(xù)函數(shù)．
∴a_n=

lim

x→1

x-1

xn-1

=

lim

x→1

1

nxn-1

=

1

n

（2）證明：當(dāng)n=1時(shí)，1＜

29

24

 成立；
當(dāng)n=2時(shí)，1+

1

8

=

9

8

＜

29

24

成立；
當(dāng)n≥3時(shí)，

n

k=1

an3=

n

k=1

1

n3

＜1+

1

8

+

n

k=1

1

2

(

1

(n-1)n

-

1

n(n+1)

)=

9

8

+

1

2

(

1

2×3

-

1

n(n+1)

)=

29

24

-

1

2n(n+1)

＜

49

24

，
所以當(dāng)n∈N^*時(shí)原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)，正確放縮，屬于中檔題．