Question

已知n∈R，函數(shù)，f（x）=（-x²+ax）e^x（x∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（3）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)？若是，求出a的取值范圍；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＞0，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，即-x²+（a-2）x+a≥0對(duì)x∈（-1，1）恒成立，分離參數(shù)求最值，即可求a的取值范圍．
（3）假設(shè)f（x）是為R上的單調(diào)函數(shù)，則為R上的單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)，意即f′（x）≥0或f′（x）≤0對(duì)任意的x∈R都成立．可轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立問(wèn)題．
解答：解：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=（-x²+2x）e^x，f′（x）=-（x²-2）e^x
令f′（x）＞0，得x²-2＜0，∴
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）；
（Ⅱ）f′（x）=[-x²+（a-2）x+a]e^x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞增，即當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）≥0，
即-x²+（a-2）x+a≥0對(duì)x∈（-1，1）恒成立，
即a≥對(duì)x∈（-1，1）恒成立，
令y=，則y′=＞0
∴y=在（-1，1）上單調(diào)遞增，∴y＜1+1-
∴a
當(dāng)a=時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f′（x）=0
∴a的取值范圍是[，+∞）．
（3）假設(shè)f（x）是為R上的單調(diào)函數(shù)，則為R上的單調(diào)遞增函數(shù)或單調(diào)遞減函數(shù)
①若f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則f′（x）≤0對(duì)任意的x∈R都成立，
即[-x²+（a-2）x+a]e^x_≤0對(duì)任意的x∈R都成立，
因?yàn)閑^x＞0，所以-x²+（a-2）x+a≤0恒成立，
故由△=（a-2）2+4a≤0，
整理得a2+4≤0，顯然不成立，
即f（x）不可能為R上的單調(diào)遞減函數(shù)．
②若f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0對(duì)任意的x∈R都成立，
即[-x²+（a-2）x+a]e^x_≥0對(duì)任意的x∈R都成立，
因?yàn)閑^x＞0，所以-x²+（a-2）x+a≥0恒成立，
而函數(shù)h（x）=-x²+（a-2）x+a的圖象是開口向下的拋物線，
所以-x²+（a-2）x+a≥0是不能恒成立的，
所以f（x）不可能為R上的單調(diào)遞增函數(shù)．
綜上所述，f（x）是不可能為R上的單調(diào)函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．