Question

【題目】如圖，在四面體中，已知⊥平面， ， ， 為的中點(diǎn)．

（1）求證： ；

（2）若為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且，

求證：直線//平面．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）由等腰三角形性質(zhì)得AD⊥PC．再根據(jù)PA⊥平面ABC，得PA⊥BC．最后根據(jù)線面垂直判定定理得BC⊥平面PAC，得BC ⊥AD．即得AD⊥平面PBC，可得AD⊥BD（2）設(shè)BD與CM交于點(diǎn)G，先根據(jù)平幾知識(shí)得AD//NG，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論

試題解析：(1) ∵PA=AC，D為PC的中點(diǎn)，∴AD⊥PC．

∵ PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴ PA⊥BC．

∵ ∠ACB=90°，BC ⊥AC，且PAAC =A， 平面

∴ BC⊥平面PAC．

∵ AD平面PAC， ∴ BC ⊥AD．

且平面，

∴AD⊥平面PBC ．

∵ BD平面PBC，∴AD⊥BD ．

（2） 連接DM，設(shè)BD與CM交于點(diǎn)G，連接N G，

∵ D、M為中點(diǎn)，∴DM //BC且，

∴ DG:GB=DM:BC=1:2．

∵ AN:NB=1:2，∴AN:NB= DG:GB ．

∴ △BNG∽△BAD，∴AD//NG，

∵平面CMN， 平面CMN，

∴ 直線AD//平面CMN．

點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.