Question

【題目】已知關(guān)于x的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù).

（1）如果函數(shù)在處有極值，求函數(shù)的表達式；

（2）當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任一點P處的切線斜率為k，若，求實數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）首先求出，根據(jù)極值的定義可得，解方程組求出、，將、的值代入驗證函數(shù)能否取得極值即可求解.

（2）由，設(shè)圖象上任意一點，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得任意，恒成立，分離參數(shù)只需任意恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.

（1），

因為函數(shù)在處有極值，

所以

解得或.

（i）當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，不存在極值

（ii）當(dāng)時，

時，，單調(diào)遞增；

時，，單調(diào)遞減，

所以在處存在極大值，

符合題意綜上所述，滿足條件的值為

故函數(shù).

（2）當(dāng)時，函數(shù)，

設(shè)圖象上任意一點，則，

因為，所以對任意，恒成立，

所以對任意，不等式恒成立，

設(shè)，則，

當(dāng)時，

故在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以對任意，

所以.