Question

【題目】設(shè)函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性，并指出其單調(diào)區(qū)間；

（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a進(jìn)行討論：當(dāng)a＞0和a≤0時(shí)，研究函數(shù)的單調(diào)性.（2）原不等式等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，由m(x)的單調(diào)性即即可得到a的范圍.

（1）由，得，.

①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，

②當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）原不等式等價(jià)于在上恒成立，

即在上恒成立，

令，

只需在上恒成立即可.

又因?yàn)?/span>，所以在處必大于等于0.

令，由，可得.

當(dāng)時(shí)， .

因?yàn)?/span>，所以，又，故在時(shí)恒大于0，

所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

所以，故也在上單調(diào)遞增，

所以，即在上恒大于0.

綜上，.