Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（I）當(dāng)a=1時(shí)，證明在是增函數(shù)；

（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求a取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，求得f′（x）（x＞0）．令g（x）＝ex﹣1﹣x，求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，分析g（x）的單調(diào)性，求得g（x）有最小值0，從而可得g（x）≥0，即f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；

（Ⅱ）設(shè)h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），求其導(dǎo)函數(shù)，得h′（x）．令p（x）＝ex﹣a（x+1），對(duì)a分類(lèi)分析p（x）的符號(hào)，得到h（x）的單調(diào)性，從而求得滿(mǎn)足f（x+1）＞0時(shí)a的取值范圍．

（Ⅰ）當(dāng)a＝1時(shí)，f′（x）（x＞0）．

令g（x）＝ex﹣1﹣x，g′（x）＝ex﹣1﹣1，

由g′（x）＝0，可得x＝1．

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，

∴當(dāng)x＝1時(shí)，g（x）min＝g（1）＝0，即g（x）≥0，

∴f′（x）≥0，則f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；

（Ⅱ）解：設(shè)h（x）＝f（x+1）＝ln（x+1）+ae﹣x﹣a（x＞0），

h′（x）．

令p（x）＝ex﹣a（x+1），則p′（x）＝ex﹣a．

①當(dāng)a≤1時(shí)，p′（x）＞e0﹣a＝1﹣a≥0，

∴p（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴p（x）＞p（0）＝1﹣a≥0．

∴h′（x）＞0，

∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

則h（x）＞h（0）＝0，結(jié)論成立；

②當(dāng)a＞1時(shí)，由p′（x）＝0，可得x＝lna，

當(dāng)x∈（0，lna）時(shí)，p′（x）＜0，p（x）單調(diào)遞減，

又p（0）＝1﹣a＜0，

∴x∈（0，lna）時(shí)，p（x）＜0恒成立，

即h′（x）＜0．

∴x∈（0，lna）時(shí)，h（x）單調(diào)遞減，

此時(shí)h（x）＜h（0）＝0，結(jié)論不成立．

綜上，a≤1．