Question

【題目】已知函數(shù)，（ ， ）.

（1）若， ，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）若時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)， 時(shí)，記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)是和（），求證： .

Answer 1

【答案】(1) (2) ;(3)見解析.

【解析】試題分析：（1）代入， 時(shí)，得到，求得，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）把不等式在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.

（3）方法一：求得，得， 是方程的兩個(gè)根，即，

化簡(jiǎn)，令，利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可證明結(jié)論；

試題解析：

（1）由題意： ， ， 時(shí)，

所以

令，得，因?yàn)?/span>，所以或

所以的單調(diào)減區(qū)間為.

（2）時(shí)， ，

不等式在上恒成立即為： 在區(qū)間上恒成立

令，則，令得： ，

因?yàn)?/span>時(shí)， ， 時(shí)， ，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

所以，所以.

（3）方法一：因?yàn)?/span>，所以，從而（）

由題意知， ， 是方程的兩個(gè)根，故.

記，則，因?yàn)?/span>，所以

，所以， ，且（， ）.

因?yàn)?/span>，所以， .

令， .

因?yàn)?/span>，所以在單調(diào)遞增，

所以，即.

方法二：因?yàn)?/span>，所以，從而（）.

由題意知， ， 是方程的兩個(gè)根.記，則，

因?yàn)?/span>，所以， ，

所以， ，且在上為減函數(shù).

所以.

因?yàn)?/span>，故.