Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(]

【解析】試題分析：（1）由 ，由 在（ 上恒成立，得到 ，即 在（1，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到實(shí)數(shù) 的取值范圍；
（2）當(dāng) 時(shí)，易得函數(shù) 的解析式，由方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，易轉(zhuǎn)化為 在上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點(diǎn)存在定理，構(gòu)造關(guān)于 的不等式組，解不等式組即可得到答案．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，由得，

∵，∴，∴有在上恒成立，

令，由得，

當(dāng)，∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即在上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

令，則，

當(dāng)， ；當(dāng)， ，

∴在上單減，在上單增， ，

又， 如圖所示，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為(]