Question

將一張2×6米的硬鋼板按圖紙的要求進(jìn)行操作，沿線裁去陰影部分，把剩余部分按要求焊接成一個(gè)有蓋的長方體水箱（其中①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），設(shè)水箱的高為x米，容積為y立方米．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如何設(shè)計(jì)x的大小，使得水箱裝的水最多？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)①與③、②與④分別是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦），可得水箱底面長寬，從而可表示水箱的容積，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求最值，由于函數(shù)的單峰函數(shù)，故在導(dǎo)數(shù)為0處取極值，且為最值．

解答：解：（1）設(shè)水箱的高為x（米），則水箱底面長寬分別為

6-2x

2

=3-x（米），2-2x（米）
故水箱的容積為y=2x（3-x）（1-x）=2x³-8x²+6x（0＜x＜1）
（2）由y'=6x²-16x+6=0，得：x=

4± 7

3

所以：y=2x³-8x²+6x（0＜x＜1）在(0，

4- 7

3

)上單調(diào)遞增，在(

4- 7

3

，1)上單調(diào)遞減
所以x=

4- 7

3

時(shí)水箱的容積最大．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，有一定的綜合性．