Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）直線為函數(shù)圖象的一條切線，若對任意的，都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時沒有極值；當時，有極大值，極大值為；（2）.

【解析】

（1）求導，對參數(shù)進行分類討論，根據(jù)導數(shù)的正負，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求極值；

（2）設出切點為，利用導數(shù)幾何意義求得與之間的關系，將問題轉化為在對應區(qū)間滿足，即可求得參數(shù)范圍.

解：（1）∵，

∴函數(shù)的定義域為．

∵，

∴．

①當時，，在上為增函數(shù)，無極值；

②當時，由，得．

∵時，，為增函數(shù)，

時，，為減函數(shù)，

∴在定義域上有極大值，極大值為．

（2）設直線與函數(shù)圖象相切的切點為，則．

∵，∴．∴．∴．

又∵，

∴．∴．∴．

∴．

∵對任意的，都有成立，

∴只需

∵，

∴由，得．

∵，∴．

∴時，，為減函數(shù)，

時，，為增函數(shù)．

∴，即．

∵在上為減函數(shù)，

∴．

∴．

即．

設，易知在上為增函數(shù)．

又∵，

∴實數(shù)的取值范圍為．