【題目】已知函數(shù)
，
.
（Ⅰ）若
滿足
，求實數(shù)
的值；
（Ⅱ）討論的極值點的個數(shù)；
（Ⅲ）若
（
）是的一個極值點，且
，證明：
.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）當(dāng)
時，
無極值點；當(dāng)
或
時，有
個極值點；（Ⅲ）見解析
【解析】
（Ⅰ）對
求導(dǎo)，由
構(gòu)建方程，求得
的值；
（Ⅱ）對求導(dǎo)，利用分類討論思想討論在當(dāng)
，，時的單調(diào)性，進(jìn)而分析極值點的個數(shù)；
（Ⅲ）由
，可得，此時由（Ⅱ）可知其兩個極值為-2和
時，又
（
）是的一個極值點，則
，即可表示
，進(jìn)而由換元法令
，構(gòu)造新的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明此時的不等式即可.
（Ⅰ）
.
，所以.
（Ⅱ）
當(dāng)
時，令
，解得
，
.
①當(dāng)時，
，
當(dāng)
變化時，
，的變化如下表
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| ↗ | 極大值點 | ↘ | 極小值點 | ↗ |
所以有2個極值點.
②當(dāng)時，
，此時
恒成立且不恒為
在
上單調(diào)遞增，無極值點.
③當(dāng)時，
，
當(dāng)變化時，，的變化如下表
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|
|
| ↗ | 極大值點 | ↘ | 極小值點 | ↗ |
所以有2個極值點.
綜上所述：當(dāng)時，無極值點；當(dāng)或時，有個極值點
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若
是的一個極值點，則
.
又
，即.
.
.
令，則
，
.
則
，令
，解得
或
.
當(dāng)
在區(qū)間
上變化時，
，
的變化如下表
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|
|
|
|
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| ↗ | 極大值點 | ↘ |
在
上單調(diào)遞增；在
上單調(diào)遞減
，即
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖,橢圓
：
的左、右焦點分別為
，橢圓上一點
與兩焦點構(gòu)成的三角形的周長為6,離心率為
，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
交橢圓
于
兩點,問在
軸上是否存在定點,使得
為定值？證明你的結(jié)論.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為
和
的矩形分成兩個直角三角形，每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形（黃）和兩個小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為
，寬為內(nèi)接正方形的邊長
．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)
為斜邊
的中點，作直角三角形
的內(nèi)接正方形對角線
，過點
作
于點
，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得
；
②由
可得
；
③由
可得
；
④由
可得
．
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于數(shù)列
，若存在常數(shù)M，使得對任意
，
與
中至少有一個不小于M，則記作
，那么下列命題正確的是（ ）．
A.若，則數(shù)列各項均大于或等于M；
B.若，則
；
C.若，
，則
；
D.若，則
；
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
在
處取得極值A，函數(shù)
，其中
…是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求m的值，并判斷A是
的最大值還是最小值；
（2）求
的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明：對于任意正整數(shù)n，不等式
成立．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在四棱錐
中，底面
是正方形，頂點
在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長為
，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（ ）（參考公式：
）
A. 2B. 
C. 4D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，
，
．
（1）求函數(shù)
的極值；
（2）直線
為函數(shù)圖象的一條切線，若對任意的
，
都有
成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
.
（1）若
，且
為函數(shù)
的一個極值點，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若
，且函數(shù)
的圖象恒在
軸下方，其中
是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)
的取值范圍.
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