Question

【題目】在三棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面平面；

（2）在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使平面？若存在，指出點(diǎn)的位置并給出證明，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）若，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）存在，點(diǎn)為上靠近的四等分點(diǎn)即 （3）120°

【解析】

（1）證明，得到平面，得到答案.

（2）取的中點(diǎn)，連接，證明得到答案.

（3）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為，計(jì)算夾角得到答案.

（1）平面，面，，

又因?yàn)?/span>，，面，平面，

而平面，平面平面

（2）存在點(diǎn)為上靠近的四等分點(diǎn)即時(shí)，平面.

取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，.

面，面，平面.

為的中點(diǎn)，，，

面，面，平面.

，面，面平面.

面，平面.

（3）過(guò)作于，則平面，過(guò)作的平行線(xiàn)交于，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)為軸，以所在的直線(xiàn)為軸，以所在的直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，面的一個(gè)法向量為

若，，，，，，，從而，，，，

面的一個(gè)法向量為，，，

則，即，即

取，則

從而，

因?yàn)槎�面�?/span>是鈍二面角，所以二面角的大小是120°.