Question

【題目】設(shè)函數(shù)， 表示導(dǎo)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）對于曲線上的不同兩點，求證：存在唯一的，使直線的斜率等于.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：

(1)將 代入函數(shù)的方程，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)切線的關(guān)系求解函數(shù)的切線方程即可；

(2)首先求得 ，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)分類討論實數(shù) 的取值范圍即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)首先證明點 存在，然后利用一次函數(shù)的單調(diào)性證明 的唯一性即可.

試題解析：

（1）時， ， ， ， 在點處的切線方程為；

（2）， 的定義域為

當(dāng)時， 在區(qū)間單調(diào)遞增；

當(dāng)時， 在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減.

（3）∵，∴，化簡得

即，且唯一．

設(shè)，則，

再設(shè)， ，∴，

∴在是增函數(shù)，

∴，同理，

∴方程在有解．

∵一次函數(shù)在 是增函數(shù)，

∴方程在有唯一解，命題成立．