Question

已知函數(shù).
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對(duì)于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在正實(shí)數(shù)，使得：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立？請(qǐng)給出結(jié)論并說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，.

試題分析：（Ⅰ）先求，利用輔助角公式，函數(shù)的性質(zhì)求得；（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法求解，需要對(duì)進(jìn)行分類(lèi)討論；（Ⅲ）探索性問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法解題.
試題解析：（Ⅰ）由于，
所以.       (2分)
當(dāng)，即時(shí)，；
當(dāng)，即時(shí)，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，
單調(diào)遞減區(qū)間為.                         (4分)
（Ⅱ）令，要使總成立，只需時(shí).
對(duì)求導(dǎo)得，
令，則，()
所以在上為增函數(shù)，所以.                       (6分)
對(duì)分類(lèi)討論：
① 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，
所以，即恒成立；
② 當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022756441484.png" style="vertical-align:middle;" />在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；
③ 當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.
綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.                    (9分)
（Ⅲ）存在正實(shí)數(shù)使得當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.
理由如下：令，要使在上恒成立，只需.                                                                        (10分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022757003999.png" style="vertical-align:middle;" />，且，，
所以存在正實(shí)數(shù)，使得，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，
所以只需均滿足：當(dāng)時(shí)，恒成立.    (14分）
注：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824022757221722.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以的性質(zhì)，恒成立問(wèn)題.