Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論，，，，可求得的單調(diào)性

（2）由（1）求得在，，，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，討論出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求得實(shí)數(shù)的取值范圍。

解析：（1）

①，，，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減

②，或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減

③，，在單調(diào)遞減

④，或，當(dāng)，，單調(diào)遞減；

，，單調(diào)遞增；

，，單調(diào)遞減

（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)

，由（1）可得，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則

∴

下證有兩個(gè)零點(diǎn)

取，，滿足，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)

，滿足，故在有且只有一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，由（1）可得，，故在無零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，

∴在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件

當(dāng)時(shí)，，故在上無零點(diǎn)，

又因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減，∴在至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件

∴滿足條件的取值范圍