【題目】如圖，在三棱柱中
，側面
底面
，
，
，
，
，
分別為
，
的中點.
（1）求證：直線
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中點
，根據線線平行證線面平行，再根據線面平行得面面平行，最后根據面面平行得結果，（2）先根據條件得
，
，
兩兩垂直，再建立空間直角坐標系，設各點坐標，利用方程組解得各面法向量，再根據向量數量積得法向量夾角，最后根據二面角與法向量夾角關系得結果.
（1）證明：取的中點，連接
，
，由于
，
分別為
，
的中點，所以
.又
平面
，
平面，所以
平面.又
且
，
所以四邊形
是平行四邊形.
則
，又
平面，
平面，
所以
平面.
所以平面
平面.又
平面
，
所以直線
平面
（2）解：令
，
由于為中點，則
，又側面
底面
，交線為，
平面
，則
平面，連接，可知，，兩兩垂直.以為原點，分別以，，所在直線為
，
，
軸，建立空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
所以
，
，
令平面
的法向量為
，
由
則
令
，則
.
令平面
的法向量為
，
由
則
令
，則
由
，故二面角
的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，將一塊直角三角形板
置于平面直角坐標系中，已知
，點
是三角板內一點，現因三角板中，陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點
的任一直線
將三角板鋸成
，設直線的斜率為
.
（1）用表示出直線的方程，并求出點
的坐標；
（2）求出的取值范圍及其所對應的傾斜角
的范圍；
（3）求面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系中，
為坐標原點，射線
與
軸正半軸重合，射線
在第一象限，且與軸正半軸的夾角為
，在上有點列
，在上有點
，已知
，
（1）求點
和
的坐標；
（2）求
的坐標；
（3）求
面積的最大值，并求出此時的
值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個生產公司投資A生產線500萬元，每萬元可創(chuàng)造利潤
萬元，該公司通過引進先進技術，在生產線A投資減少了x萬元，且每萬元的利潤提高了
；若將少用的x萬元全部投入B生產線，每萬元創(chuàng)造的利潤為
萬元，其中
．
若技術改進后A生產線的利潤不低于原來A生產線的利潤，求x的取值范圍；
若生產線B的利潤始終不高于技術改進后生產線A的利潤，求a的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知以M為圓心的圓M: 
及其上一點A（2，4）
（1）設圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x=6上，求圓N的標準方程；
（2）設平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點，且BC=OA,求直線l的方程；
（3）設點T（t,o）滿足：存在圓M上的兩點P和Q,使得
,求實數t的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知動圓
過定點
，且與定直線
相切．
（1）求動圓圓心的軌跡
的方程；
（2）過點
的任一條直線
與軌跡交于不同的兩點
，試探究在
軸上是否存在定點
（異于點
），使得
？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠去年某產品的年產量為100萬只，每只產品的銷售價為10元，固定成本為8元
今年，工廠第一次投入100萬元
科技成本
，并計劃以后每年比上一年多投入100萬元科技成本，預計產量年遞增10萬只，第
次投入后，每只產品的固定成本為
為常數，
且
，若產品銷售價保持不變，第次投入后的年利潤為
萬元．
（1）求
的值，并求出的表達式；
（2）問從今年算起第幾年利潤最高？最高利潤為多少萬元？
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