Question

【題目】如圖，已知點分別是Δ的邊的中點，連接.現(xiàn)將沿折疊至Δ的位置,連接.記平面 與平面 的交線為 ，二面角大小為.

（1）證明：

（2）證明：

（3）求平面與平面 所成銳二面角大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）見解析；（3） .

【解析】試題分析：（1）由分別是Δ的邊的中點，根據(jù)三角形中位線定理可得，由線面平行的判定定理可得平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可得結(jié)論；（2）由三角形中位線定理以可判定四邊形平行四邊形，進而可得四邊形為菱形，于是可得， , ，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論；（3）作于交于,可知是的中點，折疊后角是二面角的平面角，可證明等腰的底角是平面與平面所成銳二面角的平面角，進而可得結(jié)果.

試題解析：（1）證明：因為分別是Δ的邊的中點，所以經(jīng)過的平面與平面的交線為，

又 , .

（2）證明：記

且

,四邊形

又 , .

, 則得.

又, .

(3) 過,易知是的中點，

易知折疊后角是二面角的平面角.

,

則可知.

.易知

等腰的底角角是所成銳二面角的平面角，

易知角 .

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、二面角的求法，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.