如圖，四棱錐
的底面ABCD是平行四邊形，
，
，
面
，設(shè)
為
中點，點
在線段
上且
．
（1）求證：
平面
；
（2）設(shè)二面角
的大小為
，若
，求
的長．
( 1 )證明過程詳見解析;(2) 
.
解析試題分析：
(1)利用三角形的余弦定理和勾股定理即可證明
為直角三角形,即
.再根據(jù)垂直的判斷可以得到
相互垂直,即可以以這三條邊建立三維空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法來證明線面平行,首先求出平面ACF的法向量,計算法向量與BE的內(nèi)積,證明該內(nèi)積為0即可得到線面平行.
(2)利用第(1)問平面ACF的法向量,再求出面DCF的法向量,則二面角即為兩法向量所成角或者其補角,故兩法向量夾角的余弦值為滿足,即可求出PA的長度.
試題解析：
（1）由，得
，
．
又面，所以以分別為
軸建立坐標(biāo)系如圖．
則
設(shè)
，則
．
設(shè)
，
得：
．
解得：
，
，
，
所以
． 5分
所以
,
，
．
設(shè)面的法向量為
，則
，取
．
因為
，且
面，所以平面． 9分
（2）設(shè)面
法向量為
， 因為
，
，
所以
，取
． 11分
由
，得
．
，
，所以． 15分
考點：三維空間直角坐標(biāo)系 法向量 內(nèi)積
開心練習(xí)課課練與單元檢測系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=
，連接CE并延長交AD于F.
（1）求證：AD⊥平面CFG；
（2）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E是棱AB上的動點.
（1）求證：DA1⊥ED1；
（2）若直線DA1與平面CED1成角為45o，求
的值；
（3）寫出點E到直線D1C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
四棱錐P—ABCD的底面是邊長為2的菱形，∠DAB=60°，側(cè)棱
，
，M、N兩點分別在側(cè)棱PB、PD上，
.
(1)求證：PA⊥平面MNC。
(2)求平面NPC與平面MNC的夾角的余弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點,計算:
(1)
·
.
(2)EG的長.
(3)異面直線EG與AC所成角的大小.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點．
(1)求證：B1E⊥AD1.
(2)在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
(3)若二面角A－B1E－A1的大小為30°，求AB的長．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖，圓錐的高PO＝4，底面半徑OB＝2，D為PO的中點，E為母線PB的中點，F(xiàn)為底面圓周上一點，滿足EF⊥DE.
(1)求異面直線EF與BD所成角的余弦值；
(2)求二面角OOFE的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題
如圖所示，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，點D是BC的中點．
(1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值．
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,☉O的直徑AB=2,C是
的中點,D為AC的中點.