Question

已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，-2），若點(diǎn)M（x，y）平面區(qū)域

x+y≥2 x≤1 y≤2

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：確定不等式組表示的平面區(qū)域，化簡(jiǎn)向量，再將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖

令z=

OA

•（

OA

-

MA

）=

OA

•

OM

=-x-2y，則目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線y=-

1

2

x-

z

2

縱截距一半的相反數(shù)
由

x=1 x+y=2

，可得x=y=1由圖象可知，此時(shí)z取得最大值-3
∵

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

≤0恒成立
∴

1

m

≤-

OA

•（

OA

-

MA

）+

1

m

∴

1

m

≤-z
∴

1

m

≤3
∴m＜0或m≥

1

3

故答案為：（-∞，0）∪[

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查數(shù)學(xué)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問(wèn)題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．