【題目】橢圓
的經(jīng)過(guò)中心的弦稱(chēng)為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點(diǎn)的軌跡為一條線(xiàn)段，稱(chēng)為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為
.
（1）若一條直徑的斜率為
，求該直徑的共軛直徑所在的直線(xiàn)方程；
（2）若橢圓的兩條共軛直徑為
和
，它們的斜率分別為
，證明：四邊形
的面積為定值.
【答案】（1）
；（2）證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析：（1）利用點(diǎn)差法計(jì)算. 設(shè)斜率為
的與直徑平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為
，
，
該弦中點(diǎn)為
，將坐標(biāo)代入橢圓方程，作差，然后化簡(jiǎn)得
，即直徑的共軛直徑所在的直線(xiàn)方程為；（2）四邊形
顯然為平行四邊形，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，分別求得四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
，
，
，
，然后利用兩點(diǎn)間距離公式和點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，求得面積為
.
試題解析：
（1）設(shè)斜率為的與直徑平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
該弦中點(diǎn)為，則有
，
，
相減得：
，
由于
，
，且
，所以得：，
故該直徑的共軛直徑所在的直線(xiàn)方程為.
（2）橢圓的兩條共軛直徑為
和
，它們的斜率分別為
，
四邊形顯然為平行四邊形，設(shè)與平行的弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
則
，
，而，，
，故
，
由
得
的坐標(biāo)分別為，
故
，同理
的坐標(biāo)分別為，
設(shè)點(diǎn)
到直線(xiàn)的距離為
，四邊形的面積為
,
所以，
，
則
，為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】甲、乙兩人相約于下午1：00～2：00之間到某車(chē)站乘公共汽車(chē)外出，他們到達(dá)車(chē)站的時(shí)間是隨機(jī)的．設(shè)在下午1：00～2：00之間該車(chē)站有四班公共汽車(chē)開(kāi)出，開(kāi)車(chē)時(shí)間分別是1：15，1：30，1：45，2：00.求他們?cè)谙率銮闆r下乘同一班車(chē)的概率：
(1)約定見(jiàn)車(chē)就乘；
(2)約定最多等一班車(chē)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
為圓
上的動(dòng)點(diǎn)， 
的坐標(biāo)為
， 
在線(xiàn)段
的中點(diǎn).
（Ⅰ）求
的軌跡
的方程.
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)
與
交于
兩點(diǎn)，且
，求直線(xiàn)
的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中， 
兩兩垂直且相等，過(guò)
的中點(diǎn)
作平面
∥
，且
分別交PB，PC于M、N，交
的延長(zhǎng)線(xiàn)于
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓C： 
=1的離心率e= 
，動(dòng)點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和是4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C1的方程為 
=1（m＞n＞0），橢圓C2的方程為 =λ（λ＞0，且λ≠1），則稱(chēng)橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知橢圓C2是橢圓C的3倍相似橢圓．若過(guò)橢圓C上動(dòng)點(diǎn)P的切線(xiàn)l交橢圓C2于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試證明當(dāng)切線(xiàn)l變化時(shí)|PA|=|PB|并研究△OAB面積的變化情況．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】在約束條件 
下，當(dāng)t≥0時(shí)，其所表示的平面區(qū)域的面積為S（t），S（t）與t之間的函數(shù)關(guān)系用下列圖象表示，正確的應(yīng)該是（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知圓
的圓心在直線(xiàn)
上，且圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)
與點(diǎn)
.
（1）求圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)
作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】試題分析：（1）求出線(xiàn)段
的中點(diǎn)
，進(jìn)而得到線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為
，與
聯(lián)立得交點(diǎn)
，∴
.則圓的方程可求
（2）當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，可知切線(xiàn)方程為.
當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為
，由到此直線(xiàn)的距離為
，解得
，即可到切線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.
試題解析：（（1）設(shè) 線(xiàn)段的中點(diǎn)為，∵
，
∴線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，
∴.
∴圓的方程為
.
（2）當(dāng)切線(xiàn)斜率不存在時(shí)，切線(xiàn)方程為.
當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)方程為，即
，
則到此直線(xiàn)的距離為，解得
，∴切線(xiàn)方程為
.
故滿(mǎn)足條件的切線(xiàn)方程為或.
【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線(xiàn)，中點(diǎn)弦等問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解．
【題型】解答題
【結(jié)束】
20
【題目】某小型企業(yè)甲產(chǎn)品生產(chǎn)的投入成本
（單位：萬(wàn)元）與產(chǎn)品銷(xiāo)售收入
（單位：萬(wàn)元）存在較好的線(xiàn)性關(guān)系，下表記錄了最近5次產(chǎn)品的相關(guān)數(shù)據(jù).
| 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
| 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
（1）求
關(guān)于
的線(xiàn)性回歸方程；
（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，判斷該企業(yè)甲產(chǎn)品投入成本20萬(wàn)元的毛利率更大還是投入成本24萬(wàn)元的毛利率更大（
）？
相關(guān)公式： 
， 
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知復(fù)數(shù)z＝
，（m∈R，i是虛數(shù)單位）．
（1）若z是純虛數(shù)，求m的值；
（2）設(shè)
是z的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)
＋2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求m的取值范圍．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在原點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為
，點(diǎn)
在橢圓上．
（1）求橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為
的直線(xiàn)
與橢圓
交于
， 
兩點(diǎn)， 
為弦
中點(diǎn)，求點(diǎn)
的軌跡方程．
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