Question

“數(shù)學(xué)史與不等式選講”模塊
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）求函數(shù)f（x）=sin³xcosx，x∈（0，

π

2

）的最大值．

Answer 1

分析：（1）先證明n=1時(shí)成立，計(jì)算n=k時(shí)，命題成立，利用放縮法，證明n=k+1時(shí)，命題成立；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，取得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最大值．

解答：（1）證明：①n=1時(shí)，|sinθ|≤|sinθ|成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，命題成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|成立
則n=k+1時(shí)，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+sinθcoskθ|≤|sinkθ+sinθ|≤（k+1）|sinθ|
即n=k+1時(shí)，命題成立
綜上，|sinnθ|≤n|sinθ|（n∈N^*）
（2）解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=sin²x（3cos²x-sin²x）
∵x∈（0，

π

2

），∴令f′（x）=0，可得x=

π

3

∵x∈（0，

π

3

），f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；x∈（

π

3

，

π

2

），f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減
∴x=

π

3

時(shí)，函數(shù)取得最大值

3 3

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．