Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，Sn是和an的等差中項(xiàng)．

(1)證明：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；

(2)若bn＝－n＋5，求{an·bn}的最大項(xiàng)的值并求出取最大值時(shí)n的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，{an·bn}的最大項(xiàng)的值為6.

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，利用項(xiàng)和公式推理，最后證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.(2)第（2）問(wèn)，先計(jì)算出an·bn，再利用二次函數(shù)求它的最大值.

試題解析：

(1)證明：由已知可得2Sn＝＋an，且an>0，

當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝＋a1，解得a1＝1；

當(dāng)n≥2時(shí)，有2Sn－1＝＋an－1，

所以2an＝2Sn－2Sn－1＝-＋an－an－1，所以-＝an＋an－1，

即(an＋an－1)(an－an－1)＝an＋an－1，

因?yàn)?/span>an＋an－1>0，所以an－an－1＝1(n≥2)．

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．

(2)由(1)可知an＝n，設(shè)cn＝an·bn，則cn＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＝－

因?yàn)?/span>n∈N*，當(dāng)n＝2或n＝3時(shí)，{an·bn}的最大項(xiàng)的值為6.