Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，把圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，且傾斜角為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn).

（1）當(dāng)時(shí)，求曲線的普通方程與直線的參數(shù)方程；

（2）求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 的方程為， 的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.(2) .

【解析】試題分析： 由圓上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，代入點(diǎn)坐標(biāo)求出普通方程，將時(shí)代入，求直線的參數(shù)方程(2)將參數(shù)方程代入利用公式求出到兩點(diǎn)的距離之積的最小值

解析：（1）設(shè)圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,

根據(jù)題意，得，即.

又點(diǎn)在圓上，

所以，

即曲線的方程為，

由題知， ，

所以直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.

（2）將直線的參數(shù)方程（是參數(shù)）代入，

得 （*）.

設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，

則，

當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，（*）式中，

則取得最小值，即最小值為.