Question

【題目】已知圓C的圓心在直線上，且圓C與x軸交于兩點(diǎn)，.

（1）求圓C的方程；

（2）已知圓M:，設(shè)為坐標(biāo)平面上一點(diǎn)，且滿足:存在過(guò)點(diǎn)且互相垂直的直線和有無(wú)數(shù)對(duì)，它們分別與圓C和圓M相交，且圓心C到直線的距離是圓心M到直線的距離的2倍，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）圓心在上，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，得到圓的方程；（2）根據(jù)題意設(shè)直線斜率為，表示出和的方程，從而表示出圓心C到直線的距離和圓心M到直線的距離，整理后與無(wú)關(guān)，得到，的方程組，解得的坐標(biāo).

（1）因?yàn)?/span>，在圓上，

所以圓心在弦的垂直平分線上.

由即，

即，，

故圓的方程為

（2）由題意知直線和的斜率均存在，和互相垂直，設(shè)斜率為，

設(shè)點(diǎn)，直線，直線，

則點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線的距離的2倍，

從而，

化簡(jiǎn)得或，

又因?yàn)殛P(guān)于的方程有無(wú)數(shù)多解，

則或，

解得或，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.