Question

已知曲線y=和這條曲線上的一點P(2,),判斷曲線y=x在點P處是否有切線,如果有,求出切線方程.

Answer 1

分析一:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.函數(shù)y=f(x)在點P處的切線的斜率是否存在的問題,可轉(zhuǎn)化為割線PQ的斜率的極限是否存在的問題.

解法一:在曲線y=上點P附近取一點Q,設(shè)Q點的橫坐標為2+Δx,則點Q的縱坐標為

.

∴函數(shù)的增量Δy=.

∴割線PQ的斜率k_PQ=.

∴Δx→0時,k_PQ有極限為,這表明曲線y=在點P處有切線,且切線的斜率是,由點斜式可得切線方程為y-=(x-2),即x-4y+2=0.

分析二: 函數(shù)y=是可導(dǎo)的.對y=求導(dǎo),就得到曲線y=的切線的斜率.在x=2處切線的斜率就是導(dǎo)函數(shù)在該點處的函數(shù)值.

解法二:y′=()′=.

∴y′|_x=2==.

由點斜式可得在P點處切線的方程為y-=(x-2),

即x-4y+2=0.

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.過曲線上一點P,若存在切線,則切線是過該點的割線PQ的極限位置,它反映了事物之間量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系.